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中國團隊成功證明兩個國際數學界60多年懸而未決的猜想
據中國科學技術大學網站11月2日消息，近日，中國科大幾何與物理研究中心創始主任陳秀雄教授在偏微分方程和復幾何領域取得重要“里程碑式結果”。他與合作者程經睿完成的關于一類四階完全非線性橢圓方程的先驗估計和凱勒流形上有關卡拉比極值度量若干著名猜想的兩篇論文先后發表在國際著名雜志 Journal of American Mathematical Society上。論文解決了若干有關凱勒流形上常標量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題，包括長期未決的“強制性猜想”和“測地穩定性猜想”，將對幾何和偏微分方程的研究產生重要的影響。同行專家評論，上述工作“屬于凱勒幾何里最重要結果中的上乘之作”“必將成為幾何和分析兩個領域經典”。
美國數學家克勞德·勒布潤評價“該系列論文是復微分幾何領域一個非凡的、根本的、完全出乎意料的進展。這些卓越的工作應該會在數學的其它領域包括與復微分幾何相去甚遠的領域產生影響。”法國科學院院士吉恩-皮埃爾·德瑪依認為“他們的結果看來是對當代復微分幾何一個極其重要的貢獻。”美國科學院院士布萊恩·勞森評價道“陳和程最近的系列論文令人驚嘆，誠為該領域一個實質性的突破。他們做出的先驗估計前所未見，乃絕佳力作，并在此估計的基礎上，獲得了一系列重要結果。”
凱勒流形上的常標量曲率度量的存在性是過去六十多年來幾何中的核心問題之一，它的研究吸引了幾代杰出的幾何分析學家。關于其存在性，有三個著名的猜想——穩定性猜想、強制性猜想和測地穩定性猜想。穩定性猜想限制在凱勒-愛因斯坦度量時稱為丘成桐猜想，由丘成桐于上世紀九十年代提出，并由陳秀雄、唐納森和孫崧率先解決。強制性猜想和測地穩定性猜想中的必要性，經過最近二十多年眾多著名數學家的工作，已變得完全清晰。然而，其充分性的證明在陳-程的工作之前被認為是遙不可及的。
常標量曲率度量的存在性可轉化成一類四階完全非線性橢圓方程解的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K-能量強制性或測地穩定性的假設下證明這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難，長期以來業內專家普遍不相信會有一個令人滿意的存在性理論。在陳-程的工作前，對此類方程幾乎沒有合適的處理工具。陳-程最重要的突破是給出了這類方程的先驗估計以及成功實現了陳秀雄教授提出的新的連續參數的策略。菲爾茲獎得主西蒙·唐納森爵士評價“他們的工作已經提供了眾多常標量曲率凱勒度量的新例子，毫無疑問也將成為完全認識這個問題的基礎。”
此外，陳-程的文章中還有許多其它突破性的結果。例如，他們給出了環對稱凱勒流形上穩定性猜想的證明，將唐納森在環對稱凱勒曲面上的經典定理推廣到了高維。關于一般穩定性猜想的證明，兩位作者在文章中提出了一系列深刻的問題和可能的解決方案。盡管還有諸多困難需要克服，專家們相信穩定性猜想的完全解決已成為可能。在文章的預印本公開后的兩年里，已經出現了一系列重要進展。
陳秀雄教授近年來在偏微分方程和復幾何領域取得了一系列重要進展，改變了該領域的面貌。除了此次完成的重要成果外，他與王兵合作證明了法諾凱勒里奇流極限的弱緊性, 繼而與孫崧和王兵合作證明了極限的唯一性，并給出了丘成桐猜想的一個基于凱勒里奇流的新證明。值得一提的是，陳教授這次的合作者程經睿在完成這項工作時博士尚未畢業， 其研究潛力可見一斑。
陳秀雄教授
- 原標題：中國科大在偏微分方程和復幾何領域取得重要突破
- 責任編輯: 朱琳
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