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【文/觀察者網專欄作者 潘禺】

今年，一場數學競賽初賽結果的出圈傳播，導致了媒體的聚焦和全社會的討論。而在該事件不久之后，其實還有另外一場數學競賽的結果，具有深遠的影響和重要的意義，在媒體上得到的關注卻小得多。那就是2024年的國際數學奧林匹克競賽 （IMO），主角中同樣有科技互聯網巨頭的身影，Google DeepMind的人工智能AlphaProof和AlphaGeometry 2，答對了6道題中的4道，首次達到了IMO銀牌獲獎者的水平。

AlphaProof解決了2道代數問題和1道數論問題，包括本屆IMO中最難的問題，只有5名參賽者解決了這個問題。AlphaGeometry 2證明了幾何問題，而2個組合問題AI沒能解決。每道題最高可得7分，總共最高42分。人工智能的最終得分為28分，在解決的每個問題上都獲得了滿分，相當于銀牌類別的最高水平，因為今年的金牌從29分開始。

這一結果表明，AI處理復雜數學推理能力有了顯著飛躍。而數學推理是人類認知能力的一個重要方面，推動了科學發現和技術進步。

對中國來說，這一結果也意味著重大的機遇和挑戰。

中國的人工智能企業在一些領域處于領先地位，比如圖像識別。這是因為，人臉識別、物體檢測、醫療影像分析等許多技術成果，已經應用在支付、安防、智慧零售、交通監控和智能醫療等，相比于AI的其它應用領域，是率先落地的。又得益于中國巨大的人口規模和豐富的應用場景，加上基建項目的政策與資金支持，中國企業能積累大量的圖像數據，進而推動了模型的訓練和算法的優化，在各類國際比賽中處于領先。

下一個在中國能廣泛應用于實際場景的AI領域是哪里呢？有潛力的肯定包括智能網聯車和文體教等，這些也是國內企業投入的重點。中國社會歷來高度重視教育，家庭在教育上的投入巨大，學區房、課外輔導、留學費用等占到了許多家庭支出的大頭。AI對教育的改變，將深刻沖擊中國社會，數學這一被中國人視為重中之重的基礎學科，又是我們觀察這種影響的一個窗口。

從計算到證明

雖然數學一直被稱為人類心智的榮耀，但人類使用機器作為數學的輔助，有著幾千年的歷史。

早在公元前2400年，類似算盤這樣的工具就已經被發明。17世紀的科學家和發明家布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）發明了早期的機械計算器，這種機器可以進行簡單的加減運算。20世紀60年代，第一臺電子計算器問世。早在20世紀70年代到80年代，世界上的部分高中和大學考試就開始允許學生使用計算器，90年代起，許多國家的教育體系開始正式將計算器作為教學工具，并編寫了相應的課程，鼓勵學生使用計算器進行復雜運算。

美國的SAT數學考試在1994年首次允許學生使用計算器。目前，世界許多國家的標準化數學考試，如AP數學考試、SAT、ACT以及國際數學競賽，允許考生使用特定類型的計算器。用計算器可以幫助學生專注于數學概念的理解，而非繁瑣的計算，這已經沒有太大爭議。中國的基礎數學教育以嚴格和系統著稱，中國學生在PISA這類國際數學評估中的表現十分優異，盡管我們注重學生的計算能力，但也并不在高考中排斥計算器的使用。

機器幫助人類解決數學計算，無論在日常生活、教學還是科研領域，都已經被普遍接受。強大的數學計算工具如MATLAB、Mathematica、Maple已經是許多人工作的必備，適合簡單數學運算和統計分析的Excel更是普及。而在數學證明上，目前機器也在發揮越來越大的作用，這正是巨大變革可能產生的開始。

這次在IMO 2024，數學家陶哲軒做了一場演講，回顧了從早期計算工具到現代的機器學習，數學研究的范式轉變。他談到了許多例子，心智觀察所在這里結合自己的理解做一些總結和評論。

第一個例子是表格。數學領域的許多重要成果都是通過數論中的表格首次發現的，許多猜想也是通過大量的表格發現的。表格可以理解為數據庫，計算機的一個基本用途就是建立這些有用的數據庫。比如，很多數學家，包括陶哲軒自己，使用一個叫做“整數序列在線百科全書”（Online Encyclopedia of Integar Sequences，OEIS）的數據庫。

第二個例子是科學計算。比如用計算機來建模各種事物，求解大量線性方程或偏微分方程，這幾乎是現代科學研究和工程應用的基石，從天氣預報到風洞實驗，從新材料和藥物的研發到期權定價、核反應堆設計，其應用無處不在。

另一種科學計算是SAT求解器，可以解決一些邏輯難題（布爾可滿足性問題），其原理是通過檢查大量的布爾變量，尋找是否存在一組變量的賦值，使得整個布爾公式為真。通俗地說，比如給你1000個陳述，有的是真的，有的是假的，再給你一些限制條件、變量和法則，讓你證明某些句子的組合邏輯上是真的。通過把數學問題，比如畢達哥拉斯三元組問題，轉換為布爾邏輯問題，利用SAT求解器強大的組合求解能力，能夠有效尋找整數解。

第三個例子是形式化證明輔助。四色定理（任一地圖只用四種顏色就能讓相鄰的國家染上不同的顏色）和開普勒猜想（在三維空間中最有效地堆疊球體，以最大限度填充空間）的證明，都是計算機輔助證明的著名例子。

為了更加簡潔地形式化復雜的證明過程，數學家開始使用Lean平臺，Lean將數學命題用形式化語言表達并通過計算機驗證，使得每一個推理步驟都可以自動檢查。這為數學研究提供了極大的便利，也降低了證明復雜定理的出錯率。目前本科數學課程中的基礎內容，比如微積分、群論或拓撲學的基本概念等，都已經被形式化，更多數學領域的內容也在被加入到這個庫中。

數學家Peter Scholze就利用Lean試圖形式化驗證自己的高深數學理論，這些理論需要高層次數學背景和對非常抽象的概念的理解，涉及到對現代代數幾何、范疇論、同調代數和拓撲學的深入掌握。Scholze對自己的證明存有疑慮，也沒有人有本事詳細查看其中的細節。Lean的形式化證明如果能夠成功，意味著形式化數學能處理現代數學的前沿問題。用Lean證明費馬大定理的項目，目前也已經獲得資助并啟動。

陶哲軒自己則致力于以眾包方式來用Lean探索數學。其方法是為大型的復雜證明編寫一個藍圖，將證明分解成數百個小步驟，每個步驟都可以單獨形式化，然后組合起來，最后將長達數萬行的形式化證明轉換回人類可讀的版本，最后這步也是計算機自動生成的。

這樣的好處是，證明過程更加開放，讓數學家們可以更好地分工合作，每個人處理任務圖中自己負責的部分，通常是自己擅長解決的，而不需要理解整個證明。由于Lean可以自動檢查，就能保證每個人的工作達到質量標準。另外，遇到修改，編譯器會自動指出關聯的地方，不需要像傳統的方式重寫整個證明，效率大大提高。

最后一個例子就是當下炙手可熱的機器學習。