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投票悖論導致選不出女神：阿羅的發現

但是，阿羅隨即發現并非如此，從邏輯推理上來看，多數決定結果的投票并不一定具備遞移性。同樣是在蘋果、橘子和哈密瓜中做選擇，蘋果受到的支持度高于橘子，而橘子又高于哈密瓜，但蘋果和哈密瓜相比較時，反而可能是哈密瓜的支持度比蘋果高。

這件事兒其實不是阿羅第一個想出來的，在他之前，十八世紀有個法國思想家孔多塞M．de Condorcet提出了投票悖論，又叫做“孔多塞悖論”。這個悖論的推導十分簡單:這樣，由多數投票規則便導致邏輯矛盾: 社會偏好是A＞C并且C＞A。這進而表明，基于投票程序的社會選擇具有某種非理性的成分。

假如有代表美麗的趙冰冰、代表性感的錢火火、代表聰慧的孫蠻蠻三美女和不需具體名字的甲乙丙三草根。甲喜歡趙冰冰優于錢火火，錢火火又優于孫蠻蠻。那么當然我們也認為甲喜歡趙冰冰優于孫蠻蠻；乙喜歡錢火火優于孫蠻蠻，孫蠻蠻又優于趙冰冰，那么乙當然也喜歡錢火火勝于趙冰冰。丙喜歡孫蠻蠻優于趙冰冰，趙冰冰又優于錢火火，那么丙當然也喜歡孫蠻蠻勝于錢火火。

現在進行世紀美女大選舉，少數服從多數。趙冰冰和錢火火比，甲和丙都更喜歡趙冰冰優于錢火火，所以，趙冰冰獲選；同樣，錢火火與孫蠻蠻比，甲和乙認為錢火火優于孫蠻蠻，所以，錢火火獲勝。到此時為止，根據遞移性，趙冰冰應該勝過孫蠻蠻。但困境出現了，乙和丙都更喜歡孫蠻蠻優于趙冰冰，所以孫蠻蠻與趙冰冰比，孫蠻蠻更受歡迎。

悖論就是這樣產生的。

肯尼思·約瑟夫·阿羅（資料圖）

看來，草根們要么不加選擇地喜歡女神們，要么獨自偷偷喜歡就行了。如果非要把個人選擇放在社會選擇上想PK出個勝負，那就尷尬了。

完美的民主是不可能的：阿羅不可能

關于集體怎么選擇，在亞里士多德的論著中就論述過了。到了法國大革命時期，學者們又十分熱衷起社會選擇這件事，其目的是希望發展一種普遍適用的“投票機制”來幫助人們實現民主的社會決策。不幸的是，如同孔多塞，關于投票機制設計的多數研究結果令人失望和困惑。

阿羅出場后，用數學和邏輯，將社會選擇理論與福利函數緊密結合，給出了一個震驚世界的答案：不可能。

阿羅憑借他那碩大的腦容量提出，一種合理的集體選擇和社會決策機制應該同時滿足“理性原則”和“自由選擇”，具體來說有如下五個前提條件：理性、獨立性、一致性、無限制性和非獨裁性。即選擇是理性的，方案之間互相獨立，社會價值與個體價值之間有正向關聯，每個社會成員都可以自由地按自己的偏好進行選擇，不存在能把個體偏好強加給社會的可能。

在這樣自由而愉快的環境下，讓我們來一場少數服從多數的大票決吧！

接著，阿羅繼續他那碩大腦容量的工作，用復雜的數學證明了：在排除了人際間效用比較的可能性之后，考慮從個人口味得到社會偏好的方法，如果要求這些方法既要令人滿意，又要在一個相當多樣的個人排序的集合上有定義，那么這種方法必然要么是強加的，要么是獨裁的。

簡單地說，要能同時滿足以上五個條件又能排除投票困境的決策機制是不存在的，因此也不存在一種可能把個人偏好加總為理想的社會偏好的政治機制或集體決策規則。

更簡單地說，如果眾多的社會成員具有不同的偏好，而社會又有多種備選方案，那么在簡單多數的民主制度下不可能得到令所有的人都滿意的結果。

最簡單地說，完美的民主是不可能的。

其實是承認“不完美”+1：阿羅以后的研究

應該說，阿羅不可能對經濟學中社會選擇的貢獻是基礎性的，也是巨大的。盡管此后許多人提出了質疑，但總體而言，還沒有人能夠“攻破”其完整理論，而更多疑問實際上是另一種在阿羅不可能質疑下的改善和完善方案。

其中最有影響的是由鄧肯·布萊克Duncan Black和阿馬蒂亞·森Amartya Sen等人先后提出的，可以對投票偏好加以限制。比方說，改變甲、乙、丙其中一個人的偏好次序，比如將甲的偏好次序從蘋果＞橘子＞哈密瓜，改變為蘋果＞哈密瓜＞橘子，從而使三人的偏好次序成為: 甲喜歡蘋果＞哈密瓜＞橘子，乙喜歡哈密瓜＞蘋果＞橘子，丙喜歡橘子＞哈密瓜＞蘋果。由此可以得到三個社會偏好次序: 蘋果＞橘子、哈密瓜＞橘子 和哈密瓜＞蘋果，投票悖論不再存在。